ریاضیکده | riyazikadeh

جدید ترین مطالب
بخش بایگانی
آشنایی با سایت بیست فایل و نحوه کسب درآمد از آن
جمعه 08 آذر 1398

آشنایی با سایت بیست فایل و نحوه کسب درآمد از آن

آشنایی با سایت فایل 724
دوشنبه 20 آبان 1398

آشنایی با سایت فایل 724
دانلود نمونه سوالات فصل به فصل ریاضی نهم word
پنجشنبه 16 آبان 1398

دانلود نمونه سوالات فصل به فصل ریاضی نهم word
دانلود نمونه سوالات فصل به فصل ریاضی هشتم word
پنجشنبه 16 آبان 1398

دانلود نمونه سوالات فصل به فصل ریاضی هشتم word
دانلود نمونه سوالات فصل به فصل ریاضی هفتم word
پنجشنبه 16 آبان 1398

دانلود نمونه سوالات فصل به فصل ریاضی هفتم word
کسب درآمد از طریق یک فایل
جمعه 10 آبان 1398

کسب درآمد از طریق یک فایل
همکاری در فروش و بازاریابی فایل به کمک پارسی فایل
چهارشنبه 24 مهر 1398

همکاری در فروش و بازاریابی فایل به کمک پارسی فایل
مجموعه سوالات کارشناسی ارشد آزمون های ۱۳۸۰ تا ۱۳۹۲ مجوعه روانشناسی روانشناسی شریف با پاسخ تشریحی
دوشنبه 04 شهریور 1398

مجموعه سوالات کارشناسی ارشد آزمون های ۱۳۸۰ تا ۱۳۹۲ مجوعه روانشناسی روانشناسی شریف با پاسخ تشریحی
مبانی نظری کوانتومی
دوشنبه 04 شهریور 1398

مبانی نظری کوانتومی
منبع کنترل (درونی-برونی) با عزت نفس
دوشنبه 04 شهریور 1398

منبع کنترل (درونی-برونی) با عزت نفس

همه چیز در مورد عدد نپر

سه شنبه 25 اسفند 1394

عدد   e  به عدد نپر معروف است که مقدار تقریبی آن برابر است با :

e=2.718218284…………

و از رابطه زیر بدست می آید :

e=\lim (1+\frac{1}{n})^{n}

n\rightarrow \infty

همچنین اگر x عدد حقیقی دلخواهی باشد داریم که تابع نمایی عدد نپر بصورت زیر است :

e^x=\lim (1+\frac{x}{n})^{n}

n\rightarrow \infty

که ما در اینجا f(x)=e^x  را  یک تابع نمایی می نامیم .

البته این حالت خاصی از یک تابع نمایی است چرا که تابع نمایی در حالت کالی بصورت f(x)=a^x  می باشد که a  یک عدد حقیقی مثبت و مخالف یک است .اما چون ما در اینجا قرار است فقط در مورد عدد e  بحث کنیم . لذا ما e , e^x  را در نظر می گیریم که به e عدد نپر یا اویلر و به f(x)=e^x تابع نمایی می گوییم .

بررسی e , e^x

می خواهیم e , e^x  را تجزیه و تحلیل کنیم و ببینیم که چه خصوصیاتی دارند ؟

برای این کار مشتقات اول و دوم و سوم و ……… n  ام تابع  e^x  را بدست می آوریم و آنها را در نقطه صفر محاسبه می کنیم .

 {f}'(x)=e^x\rightarrow {f}'(0)=e^0=1

{f}''(x)=e^x\rightarrow {f}''(0)=e^0=1

.

.

 f^{(n)}(x)=e^x\rightarrow f^{(n)}(0)=e^0=1

iهمانطور که می بینید هر مامشتق بگیریم باز    e^x  بدست می آید  .یعنی مشتق این تابع در هر درجه ای تغییر نمی کند ، این خودش یک نقطه قوت کاربردی فراوانی برای ما در ریاضیات فراهم می ند که بعدها و در پست ها آینده بطور مفصل در مورد انها بحث می کنیم .پس می توان گفت که از   e^x می توان بی نهایت بار مشتق گرفت و نتیجه همان می شود .خوب یعنی چی ؟ و این چه فایده ای برای ما دارد ؟

جواب : می دانیم که به وسیلهٔ بسط تیلور (به انگلیسی: Taylor series)، می‌توان توابع بی‌نهایت بار مشتق‌پذیر را به صورت توابع توانی نوشت، و یا به عبارتی، بسط داد.پس طبق بسط تیلور در ریاضیات

 نمایش یک تابع ، به صورت مجموع بی‌نهایت جمله است که از مشتق‌های تابع در یک نقطه به دست می‌آید.بصورت زیر: 

 f(x)=f(x_{0})+\frac{{f}'(x_{0})(x-x_{0})}{1!}+\frac{{f}''(x_{0})(x-x_{0})^2}{2!}+....\frac{{f}^{(n)}(x_{0})(x-x_{0})^{(n)}}{n!}

حال اگر نقطه مورد نظر ما  x_{0}=0 باشد آنگاه طبق سری تیلور (فرمول بالا) تابع نمایی  e^x  و در نقطه صفر بصورت زیر خواهد بود .

e^x=1+\frac{x^{2}}{2!}+\frac{x^{3}}{3!}+.....

و در نهایت اگر ما بخواهیم    e را بدست آوریم کافیست که x=1 در نظر می گیریم آنگاه مقدار e  بصورت زیر محاسبه خواهد شد.

 

منبع : http://math2easy.com

e=1+\frac{1^{2}}{2!}+\frac{1^{3}}{3!}+.....

e=1+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+.....=۲ .۷۱۸۲۸…..

آنچه کا ما اینجا فهمیدیم اینکه تابع عدد نپر e  به دلیل داشتن بی نهایت مشتق می توان آن را با استفاده از بسط تیلور به یک بسط تبدیل کرد. این عدد به دلیل خاصیت های جالب و ارتباط قوی که با لگاریتم طبیعی دارد در حساب دیفرانسیل و انتگرال کاربردهای فراوانی دارد . ما در بخش بعدی به لگاریتم طبیعی می پردازیم و سپس به ارتباط این دو یعنی عدد e  و لگاریتم طبیعی در تسهیل حل معادلات ریاضی بخصوص انتگرال و معادلات دیفرانسیل می پردازیم .

برچسب ها

مطالب مرتبط

تظرات ارسال شده

کد امنیتی رفرش